Praticando Progressões

As atividades envolvendo progressões exigem atenção por parte dos estudantes, pois devemos ter conhecimento das fórmulas matemáticas na resolução das progressões. A partir da interpretação do enunciado deveremos escolher qual a fórmula adequada. Fique atento às questões contextualizadas e interdisciplinarizadas, as progressões possuem ligações diretas com outras ciências.

Veja exemplos de atividades envolvendo progressões aritméticas e geométricas e as formas de resolução comentadas.


Exemplo 1
Determine o 32º termo da sequência (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38,...).
Resolução
Verificamos que a sequência dada é uma Progressão Aritmética de razão igual a 3, pois:
r = 5 – 2 = 3
r = 8 – 5 = 3, e assim sucessivamente.
A expressão utilizada na determinação de um dos termos da PA é a seguinte:
a_n = a₁ + (n – 1)*r
a₃₂ = ?
a₁ = 2
r = 3
n = 32

a₃₂ = 2 + (32 – 1) * 3
a₃₂ = 2 + 31 * 3
a₃₂ = 2 + 93
a₃₂ = 95

Portanto, o 32º termo da sequência será o número 95.


Exemplo 2
Qual a soma dos números pares compreendidos entre 1 e 201?
Resolução
Precisamos determinar o primeiro e o último número par do intervalo, dessa forma temos:
a₁ = 2
a_n = 200
r = 2

Vamos determinar  o número de termos:

Soma dos termos:

A soma dos números pares compreendidos entre 1 e 201 é igual a 10 100.

Exemplo 3
Determine o 8º termo da seguinte Progressão Geométrica (3, 9, 27, 81,....)
A fórmula que determina o termo de uma PG é dada pela seguinte expressão matemática: a_n = a₁*q^n–1.
Resolução
a₈ = ?
a₁ = 3
q = 3
n = 8

a₈ = 3 * 3^{8 – 1}
a₈ = 3 * 3⁷
a₈ = 3 * 2187
a₈ = 6561

O 8º termo da PG é igual a 8.


Exemplo 4
Determine a soma dos 9 primeiros termos da sequência (1,2,4,8,...).
Resolução

A soma de uma PG finita pode ser expressa pela seguinte fórmula matemática:


a₁ = 1
q = 2
n = 9

Exemplo 5
Dada a PA (12, 8, 4, 0, -4,...), determine o 20º termo.
Resolução
Temos que a PA dada é uma progressão decrescente, veja:
r = 8 – 12 = – 4
r = 4 – 8 = – 4


a_n = a₁ + (n – 1)*r
a₂₀ = 12 + (20 – 1) * (– 4)
a₂₀ = 12 + 19 * (– 4)
a₂₀ = 12 – 76
a₂₀ = – 64

O 20º termo da PA é o número – 64.