Coeficientes binomiais

Chamamos de coeficiente binomial ou número binomial a relação estabelecida entre dois números naturais n e p, tais que n ≥ p, indicada por  . Dado , chamamos o coeficiente binomial de classe p do número n ou, simplesmente, coeficiente binomial n sobre p. De forma análoga às frações, podemos dizer ainda que n é o numerador e p é o denominador de , mas nunca podemos utilizar o “traço” da fração entre n e p. Vejamos alguns exemplos de coeficientes binomiais:

Existem ainda alguns casos particulares de coeficientes binomiais em que não é necessário fazer o seu desenvolvimento, isto é, podemos concluir rapidamente seu resultado. São eles:

1° caso) Quando n = p:

2° caso) Quando p = 0:

3° caso) Quando p = 1:

É importante ressaltar que, a partir dos coeficientes binomiais, temos o desenvolvimento de importantes estudos, como o Triângulo de Pascal e os Experimentos Binomiais.

Propriedades dos Coeficientes Binomiais

1ª Propriedade: Binomiais Complementares

Dizemos que dois coeficientes binomiais são complementares se seus numeradores forem iguais e a soma de seus denominadores for igual ao numerador. Por exemplo, considerando os números naturais n, p e q, e p + q = n, então os binômios  e  são complementares. Podemos afirmar ainda que todos os coeficientes binomiais complementares são iguais. Para confirmar, vejamos:

Exemplos:

, ,  e .

2ª Propriedade: Relação de Stifel

Sejam n e p números naturais tais que n ≥ p – 1 ≥ 0, podemos dizer que . Essa propriedade é conhecida como relação de Stifel, em homenagem ao matemático alemão Michael Stifel. Outra forma de representar a relação de Stifel sem qualquer perda de valor é . Alguns exemplos da relação de Stifel são:

, ,  e .