1º caso de fatoração: fator comum
Para fatorar expressões algébricas é necessário observar atentamente qual caso de fatoração pode ser aplicado.
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Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro caso de fatoração, todos os
A fatoração é feita colocando o termo comum em evidência, veja a
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a expressão algébrica, veja como devemos fatorá-la:
É preciso analisar se o 1º caso poderá ser utilizado para a fatoração, então é necessário analisar todos os seus monômios (termos) para ver se há termos em comum.
a – ab essa expressão tem dois monômios a e ab
Os dois possuem termos semelhantes: o termo semelhante é a. Então, colocamos esse termo comum em evidência.
Quando colocamos a em evidência devemos dividir a e ab (os monômios) por a (termo comum), assim:
a : a = 1, pois todo número (ou letra) dividido por ele mesmo é igual a 1.
ab : a = b, pois a : a = 1, então ficaria 1b que é o mesmo que b.
Portanto, a – ab = a (1 – b)
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Termos
em evidência
?a3 – 4a2 é uma expressão algébrica, veja como fatorá-la:
Essa expressão algébrica tem 2 monômios a3 e 4a2. Eles têm o a como termo semelhante, então podemos colocá-lo em evidência, mas poderá surgir uma dúvida: devemos colocar o a3 ou a2? Devemos colocar sempre o de menor expoente, então colocamos a2.
Devemos dividir a3 e 4a2 por a2, assim:
a3 : a2 = a, pois a3 = a .a .a, então a . a . a : a2 é o mesmo que 1a = a.
4a2 : a2 = 4, pois a2 : a2 = 1, então ficaria 4 . 1 que é mesmo que 4.
Portanto, a3 – 4a2 = a2 (a – 4).
↓
Termos
em evidência
?x4 - 2x3 + x2 + x é uma expressão algébrica que tem quatro monômios. Eles têm termos em comum. Como esses termos têm mesma base, devemos pegar o de menor expoente, então o termo em comum é x.
O termo em evidência deverá ser dividido pelos monômios x4 , 2x2 , x2 e x, assim:
x4 : x = x3, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.
2x3 : x = 2x2, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.
x2 : x = x, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.
x : x = 1, pois qualquer número ou letra dividido por ele mesmo é igual a 1.
Portanto, x4 - 2x3 + x2 + x = x (x3 – 2x2 + x + 1).
↓
Termos
em evidência
? 4r + 12 é uma expressão algébrica, olhando rapidamente podemos pensar que não existe termo semelhante, o que seria errado, pois o número 12 pode ser fatorado em dois fatores 12 = 4 . 3. Com essa fatoração percebemos que há um termo em comum na expressão algébrica, esse é o 4.
Então, pegamos os monômios 4r e 12 e dividimos por 4, ficando assim:
4r : 4 = 1r ou r
12 : 4 = 3
Portanto, 4r + 12 = 4 (r + 3)
↓
Termos
em evidência
? Para fatorarmos a expressão algébrica (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) devemos ter um pouco mais de cuidado, pois em primeiro lugar separamos os termos:
(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) a expressão possui dois termos.
↓ ↓
1º termo 2º termo
O termo semelhante é (x + 1), pois é encontrado tanto no 1º termo, como no 2º.
Então, devemos dividir o 1º termo e o 2º por (x + 1), ficando assim:
[(x + 1) (x – 3)] : (x + 1) = (x – 3)
2 (x + 1) : (x + 1) = 2
Portanto, (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 3 + 2)
(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 1)
↓
Termos
em evidência
Para conferir se as fatorações estão corretas, basta efetuar as fatorações, veja:
Para verificar se a fatoração 4r + 12 = 4 (r + 3) está correta, basta pegar a expressão algébrica fatorada 4 (r + 3) e resolvê-la:
Aplicando a propriedade distributiva temos: 4 (r + 3) = 4 . r + 4 . 3 = 4r + 12. Podemos concluir que a fatoração está correta.
